LES TRANSFORMATIONS REVERSIBLES

Les transformations réversibles d'un système sont des transformations idéales qui jouent un rôle important dans les processus thermodynamiques. On ne considère alors que des processus sans frottement c.à.d sans dissipation d'énergie, qui sont facilement calculables.

Le fonctionnement des machines thermiques est décrit par un cycle thermodynamique, formé de plusieurs transformations successives, qu'on suppose réversibles.

I. Systèmes Fermés

Dans les systèmes fermés, la masse de matière enfermée peut subir différentes transformations. On considère les différentes transformations simples et réversibles suivantes :

5.1 Transformation isochore (V = cte)

Soit un gaz supposé idéal et enfermé dans une enceinte rigide (non déformable dV = 0).

alors,

p1V1 = mrT1 p2V2 = mrT2

V = cte

Travail :

on a, dW = -pdV => W₁₂ = -ò ₁₂ pdV

l'enceinte étant indéformable (dV = 0), W₁₂ = 0

5.2)

Chaleur

on a, D U = W₁₂ + Q₁₂ 

soit, Q₁₂ = U₂ - U₁ = mc_v(T₂ - T₁)

Energie interne et enthalpie 

on a, D U = Q₁₂ + W₁₂ (avec W₁₂ = 0)

soit, l'énergie interne D U = Q₁₂ = mc_v(T₂ - T₁)

5.3)

et l'enthalpie, D H = H₂ - H₁ = mc_p(T₂ - T₁)

5.4)

5.2 Transformation isobare (p = cte)

p1V1 = mrT1 p2V2 = mrT2

p = cte , dp = 0

Travail

d'où, W₁₂ = -p(V₂ - V₁) = mr(T₁ - T₂) = aire a12b

5.6)

Chaleur

on a, dH = dQ + Vdp (or dp = 0) => dQ = dH

Q₁₂ = H₂ - H₁ = mc_p(T₂ - T₁)

5.7)

Energie interne et enthalpie

on a, D U = Q₁₂ + W₁₂

5.3 Transformation isotherme (T = cte)

Travail

W₁₂ = mrTlnp₂/p₁ = mrTlnV₁/V₂

5.10)

Chaleur

comme, T = cte et U = f(T) uniquement on a :

Q₁₂ = - W₁₂ = mrTlnp₁/p₂ (car D U = 0)

5.12)

Energie interne et enthalpie

on a, D U = 0 car, U = f(T)

d'où, D H = 0 car, H = f(T)

5.13)

5.4 Transformation isentrope Q = O (ou adiabatique réversible)

soit,

=> mc_vdT = - pdV
mc_pdT = +Vdp

En intégrant cette relation, on obtient l'équation bien connue d'un gaz subissant une transformation isentrope :

pVg = cte => ou p₁V_1g = p₂V_2g

5.15)

Relations (p,T) et (V,T) pour les grandeurs thermiques

On a les relations : pV = nRT et pVg = cte 

5.16)

d'où les relations : T₁V_1g ^-1=T₂V_2g ^-1 et T_1g p₁^1-g = T₂p₂^1-g

5.19)

Travail

soit, W₁₂ = mr(T₂ - T₁)/(g -1) = (p₂V₂ -p₁V₁)/(1-g )

5.20)

Chaleur

transformation adiabatique, Q₁₂ =0

D U = mc_v(T₂ - T₁)

5.21)

ou, D U = W₁₂

et D H = mc_p(T₂ - T₁) = g D U

* la pente de l'isentrope est plus abrupte que celle de l'isotherme.

5.5 Transformation polytrope (avec échange de chaleur Q # 0)

La transformation polytrope s'approche davantage d'une transformation réelle, son équation d'état est :

pVⁿ = cte

5.22)

avec, 1<n<g ( ! :attention n n'est pas le nombre de moles, mais un nombre)

*Formules :

on a, p₁V₁ⁿ = p₂V₂ⁿ

5.23)

et,

5.24)

*Attention ! : pour une polytrope

* Ces transformations (sauf la polytrope) sont des transformations idéales qui s'écartent des transformations réelles, mais elles sont très utiles pour modéliser ou décrire les cycles thermodynamiques.

* La formule pVⁿ = cte est très générale et englobe toutes les transformation précédentes :

• Isochore (V = cte) : p°V = pV^1/0 = cte avec, n=¥
• Isobare (p = cte) :  pV° = cte n=0
• Isotherme (pV = cte) :  pV = cte n=1
• Isentrope (pVg = cte) : pVⁿ = cte n=g

Fig. 5.7 : Les différentes transformations en (p,V)

II. Systèmes Ouverts

La plupart des processus thermodynamiques sont réalisés dans des systèmes ouverts où un fluide (de débit massique q_m) entre dans le système et le quitte. Le fluide dans ce système subit différentes transformations par suite d'échange d'énergie avec le milieu extérieur.

On ne considèrera que des processus stationnaires et réversibles en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle du fluide (D E_c = D Ep = 0) dans le système. Le calcul des grandeurs thermiques et calorifiques dans ces systèmes ouverts est aussi effectué à partir des relations précédentes appliquées aux systèmes fermés : car ces grandeurs sont indépendantes de la nature des variations d'état du système.

Dans les systèmes ouverts, on distingue entre les processus d'écoulement et de travail (voir Fig. 5.8) :

• dans les processus d'écoulement, il n'y a pas d'échange de travail (W_i12 = 0) : et pour les processus réversibles et à énergies cinétique et potentielle constantes, la pression est constante (dp = 0) et le travail technique : W₁₂ = ò ₁₂ Vdp = 0

=> pour ces processus, on ne détermine que les échanges de chaleur

Exemples de tels processus : les échangeurs et les tuyaux de transfert

• dans les processus de travail, il y a en plus échange de travail technique (W_t12 ¹ 0) avec le milieu extérieur

=> pour ces processus réversibles, il suffit de déterminer le travail technique

Exemples de tels processus : les turbines, compresseurs et moteurs à pistons

Travail technique

Les formules suivantes ne sont valables que pour des énergies cinétique et potentielles constantes et un gaz idéal :

- transformation isochore

W_t12 = ò ₁₂ Vdp = V(p₂ - p₁) = mr(T₂ - T₁)

5.27)

- transformation isobare

W_t12 = 0 (car dp = 0)

- transformation isotherme

W_t12 = ò ₁₂ mrdp/p = mrTlnp₂/p₁ = W_v12

5.28)

- transformation isentrope

W_t12 = H₂ -H₁ = mc_p(T₂- T₁)

5.29)

- transformation polytrope

W_tpol12 = n W_vpol12

5.30)

* Il apparaît que la transformation isotherme est la plus souhaitable, car :

• pour une détente isotherme le travail technique est supérieur à celui d'une détente isentrope
• par contre pour une compression, c'est l'inverse

Exercices : Transformations Réversibles du système

Systèmes Fermés

Ex1 : Enceinte fermée. Dans une enceinte sphérique de 20 m³ se trouve de l'azote sous une pression de 10 bar et à une température de 25 °C. On rajoute 10 kmoles d'azote avec pour résultat que la température monte à 70 °C. Ce processus se déroule rapidement de sorte qu'alors on peut considérer l'enceinte comme étant adiabatique. Ensuite, la température de l'enceinte chute de nouveau à 25 °C par cession de chaleur à l'environnement. On considérera la chaleur massique comme constante au cours des transformations et on prendra sa valeur à t = 0 °C.

a) Masse d'azote avant et après remplissage
b) Pression juste après le remplissage
c) Comment varie la pression et l'énergie interne après le refroidissement
d) Quelle est la chaleur cédée à l'extérieur après le remplissage

Rép : a) m₁ = 226 kg et m₂ = 506 kg b) p₂ = 25,8 bar c) p₃ = 22,4 bar D U = - 16,895 kJ d) Q = - 16,895 kJ

Ex2 : Moteur Diesel. Dans le cylindre d'un moteur à combustion se trouve 1 g d'air à 45 bar et 590 °C. Au cours de la détente du gaz, on injecte du carburant qui brule en dégageant une énergie de 2 kJ : cette injection est réglée de manière à maintenir la pression constante dans le cylindre. On négligera la variation de masse et de composition du gaz, et on prendra pour la chaleur massique une valeur moyenne. Le processus est considéré comme réversible

a) Evaluer les grandeurs thermiques avant et après injection
b) Quel est le travail volumétrique du piston, expliquez son signe
c) Calculer les variations d'énergie interne et d'enthalpie

Rep : a) V₁ = 55,1 cm³, T₂ = 2508 K (2235 °C), V₂ = 160 cm³ et p₂ = 45 bar b) W₁₂ = - 472 J c) D H = 2 kJ D U = 1,53 kJ

Ex3 : Dans un cylindre isotherme de 10 l, refroidi par une circulation d'eau, on comprime réversiblement à température constante de l'air à 1bar d'abord à 1l, puis à 0,1 l.

a) Quel est le travail volumétrique nécessaire à chacune de ces compressions
b) Quelle quantité de chaleur est chaque fois mise en jeu
c) Comment varie la pression, l'énergie interne et l'enthalpie, expliquer
d) Comment varie ces différents résultats si à la place de l'air on utilise de l'hydrogène

Rep : a) W₁₂ = 2,3 kJ et W₂₃ = 2,3 kJ b) Q₁₂ = - 2,3 kJ et Q₂₃ = -2,3 kJ c) p₂ = 10 bar p₃ = 100 bar et D U = D H = 0 , expliquer d) la nature du gaz ne change pas les données, expliquer

Ex4 : Dans un cylindre adiabate de 10 l, on comprime grâce à un piston de l'air au départ à 1 bar d'abord à 1 l puis à 0,1 l de façon réversible. On négligera la variation des chaleurs massiques avec la température, en prenant les valeurs à 0 °C.

a) Quel est le travail volumétrique à chaque compression
b) Comment varie à chaque compression partielle les grandeurs thermiques et caloriques

Rép : a) W₁₂ = 3,78 kJ et W₂₃ = 9,49 kJ

b) p₂ = 25,1 bar et m = 0,0121 kg, T₂ = 723 K (450 °C)
p₃ = 630 bar, T₃ = 1817 K (1544 °C)
D U₁₂ = 3,78 kJ et D H₁₂ = 5,30 kJ
D U₂₃ = 9,49 kJ et D H₂₃ = 13,3 kJ

Ex5 : Dans le cylindre d'un moteur à combustion se trouve 1 g d'air sous 29,5 bar à 945 °C. Au cours de la détente du gaz, on injecte un carburant qui s'enflamme : ce processus réversible se fait selon une transformation polytrope de coefficient n = - 1 et la pression grimpe à 38,2 bar. On négligera les variations de masse et de composition, mais on tiendra compte de la variation des chaleurs massiques en fonction de la température, pour calculer c_pm [T₁, T₂].

a) Déterminer les grandeurs thermiques avant et après l'injection
b) Evaluer le travail volumétrique du piston
c) Evaluer les variations d'énergie interne et l'enthalpie
d) Quelle est l'énergie apportée par la combustion du carburant
e) Représenter la transformation dans un diagramme (p,V)

Rép : a) V₁ = 118,6 cm³ , T₂ = 2040 K (1767 °C) , V₂ = 153,6 cm³
b) W₁₂ = -118 J c) D H = 1003 J et D U = 767 J , expliquer les signes
d) Q₁₂ = 885 J , vérifier le bilan d'énergie du système

Ex6 : Une masse de 5 kg d'hélium se détend de façon polytrope et réversible dans un système fermé de 10 bar et 400 °C à 2 bar et 120 °C.

a) Quel est le coefficient n de cette détente polytrope
b) Evaluer le travail volumétrique échangé
c) Quelle quantité de chaleur est fournie ou cédée
d) Comment varient l'énergie interne et l'enthalpie du système

Rép : a) n = 1,5 b) W₁₂ = - 5,82 MJ c) Q₁₂ = 1,41 MJ
d) D U = - 4,41 MJ et D H = - 7,34 MJ

Systèmes Ouverts

Ex7 : Dans un compresseur on comprime 10 l d'air initialement à 1 bar et 15 °C jusqu'à 10 bar et ensuite à 100 bar de façon réversible. Cette compression s'effectue soit :

1) à température constante
2) dans un compresseur adiabate
3) selon un processus polytrope avec n = 1,2

On négligera la dépendance en température des chaleurs massiques et aussi les variations d'énergies cinétique et potentielle du fluide.

On évaluera pour chacune des compressions partielles et dans les 3 cas 1) à 3) :

a) Le travail technique
b) La quantité de chaleur fournie ou cédée
c) Les variations d'énergie interne et de l'enthalpie
d) Représenter dans un diagramme les différentes transformations en y indiquant l'aire associée au travail technique

Rép :  a) Transformation isotherme

1) W_tith12 = + 2,3 kJ et W_tith23 = + 1,41 kJ
2) Q_ith12 = - 2,3 kJ et Q_{ith 23} = - 2;3 kJ
3) D U₁₂ = 0 et D U₂₃ = 0 et D H ₁₂ = 0 et D H₂₃ = 0

b) Transformation adiabate (isentrope)

1) W_tisen12 = + 3,26 kJ  et W_tisen23 = + 6,32 kJ
2) Q_isen12 = 0 et Q_isen23 = 0
3) D U₁₂ = 2,33 kJ et D U ₂₃ = 4,51 kJ et D H₁₂ = 3,26 kJ et D H₂₃ = 6,32 kJ

c) Transformation polytrope

1) W_tpol12 = + 2,80 kJ  et W_tpol23 = + 4,12 kJ
2) Q_pol12 = - 1,165 kJ et Q_pol23 = - 1,72 kJ
3) D U₁₂ = 1,165 kJ  et D U₂₃ = 1,72 kJ , D H₁₂ = 1,635 kJ et D H₂₃ = 2,40 k kJ